Inicialmente é importante destacar que esta postagem não se trata de um manual passo-a-passo sobre como desenvolver funções de interpolação, mas sim uma visão geral sobre cada uma delas com o objetivo de auxiliar o leitor no momento de escolher a melhor opção para a sua eventual necessidade.
Tudo começa com um problema proposto. Na definição de um determinado problema, também devem ser definidas algumas características deste. Um exemplo típico pode ser aplicado às temperaturas de um determinado sólido. Se nas extremidades direita e esquerda deste sólido houver, em um estado inicial, temperaturas T=1 e T=0 respectivamente, existirão cenários diferentes para variações de velocidade. Se a velocidade de propagação das partículas de temperatura for zero, teoricamente não haverá deslocamento destas partículas e, por conseqüência, não haverá alteração dos valores. Já na incidência de uma velocidade qualquer, no sentido da esquerda para a direita no eixo x, haverá um deslocamento parabólico que garantirá a distribuição da temperatura no sólido.
Este suporte físico é imprescindível na escolha das funções de interpolação a serem utilizadas, pois definirão, entre outros, o número de pontos nodais necessários e sua disposição para a resolução do problema.
As funções de interpolação, do ponto de vista matemático, também podem simplificar o processo de obtenção da solução. Obviamente, o ônus pode ser um resultado contendo alguns erros. Dependendo do caso, os erros compensam a diminuição da complexidade do problema.
Abaixo, uma breve descrição sobre cada uma das principais funções de interpolação utilizadas em fluidodinâmica:
O esquema de Diferenças Centrais é o de entendimento mais simples. Como o próprio nome diz, através da diferença de valores entre dois pontos nodais é possível fazer uma “previsão” do valor de um ponto localizado ao centro ou em outro ponto de localização linear. Entretanto, este esquema não evita uma solução contendo coeficientes negativos. Para isto, pode ser usado o esquema Upwind, que trata-se de uma aproximação de um lado só, de primeira ordem de aproximação. Dessa forma, usam-se equações diferentes para velocidade positiva e negativa, a fim de evitar resultados com coeficientes negativos.
Outro esquema muito citado em literaturas sobre o assunto é o esquema Exponencial, que usa as funções de interpolação obtidas da solução exata do problema unidimensional de advecção/difusão. Um ponto negativo é o tempo computacional necessário para avaliar os exponenciais, visto que são necessários cálculos para todas as interfaces dos volumes de controle.
O WUDS, Weighted Upstream Differencing Scheme, utiliza coeficientes que servem como peso entre a convecção e a difusão. Aplica-se junto com o Upwind para recuperação de velocidades negativas.
Muito utilizada em pacotes de software de mecânica dos fluidos computacional, a interpolação Upwind Quadrática trabalha com o aumento da ordem de aproximação da função de interpolação, utilizando um polinômio de maior ordem.
Tudo começa com um problema proposto. Na definição de um determinado problema, também devem ser definidas algumas características deste. Um exemplo típico pode ser aplicado às temperaturas de um determinado sólido. Se nas extremidades direita e esquerda deste sólido houver, em um estado inicial, temperaturas T=1 e T=0 respectivamente, existirão cenários diferentes para variações de velocidade. Se a velocidade de propagação das partículas de temperatura for zero, teoricamente não haverá deslocamento destas partículas e, por conseqüência, não haverá alteração dos valores. Já na incidência de uma velocidade qualquer, no sentido da esquerda para a direita no eixo x, haverá um deslocamento parabólico que garantirá a distribuição da temperatura no sólido.
Este suporte físico é imprescindível na escolha das funções de interpolação a serem utilizadas, pois definirão, entre outros, o número de pontos nodais necessários e sua disposição para a resolução do problema.
As funções de interpolação, do ponto de vista matemático, também podem simplificar o processo de obtenção da solução. Obviamente, o ônus pode ser um resultado contendo alguns erros. Dependendo do caso, os erros compensam a diminuição da complexidade do problema.
Abaixo, uma breve descrição sobre cada uma das principais funções de interpolação utilizadas em fluidodinâmica:
O esquema de Diferenças Centrais é o de entendimento mais simples. Como o próprio nome diz, através da diferença de valores entre dois pontos nodais é possível fazer uma “previsão” do valor de um ponto localizado ao centro ou em outro ponto de localização linear. Entretanto, este esquema não evita uma solução contendo coeficientes negativos. Para isto, pode ser usado o esquema Upwind, que trata-se de uma aproximação de um lado só, de primeira ordem de aproximação. Dessa forma, usam-se equações diferentes para velocidade positiva e negativa, a fim de evitar resultados com coeficientes negativos.
Outro esquema muito citado em literaturas sobre o assunto é o esquema Exponencial, que usa as funções de interpolação obtidas da solução exata do problema unidimensional de advecção/difusão. Um ponto negativo é o tempo computacional necessário para avaliar os exponenciais, visto que são necessários cálculos para todas as interfaces dos volumes de controle.
O WUDS, Weighted Upstream Differencing Scheme, utiliza coeficientes que servem como peso entre a convecção e a difusão. Aplica-se junto com o Upwind para recuperação de velocidades negativas.
Muito utilizada em pacotes de software de mecânica dos fluidos computacional, a interpolação Upwind Quadrática trabalha com o aumento da ordem de aproximação da função de interpolação, utilizando um polinômio de maior ordem.
Fontes utilizadas na pesquisa:
MALISKA, Clovis R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional. 2ª edição. 2004. LTC Editora. Rio de Janeiro/RJ.
ZANARDI, Maurício de Araújo. LEITE, Newton Galvão de Campos. Análise para Escolha de uma Função de Interpolação a partir dos Resultados Numéricos da Convecção Natural Interna em Cavidades. Revista Ciências Exatas. Universidade de Taubaté (UNITAU). v. 2, n. 1, p. 3-5. 2008.
ZANARDI, Maurício de Araújo. LEITE, Newton Galvão de Campos. Análise para Escolha de uma Função de Interpolação a partir dos Resultados Numéricos da Convecção Natural Interna em Cavidades. Revista Ciências Exatas. Universidade de Taubaté (UNITAU). v. 2, n. 1, p. 3-5. 2008.
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