Solução de Sistemas de Equações Lineares

Em mecânica de fluidos, bem como outras áreas da Engenharia, é comum nos depararmos com o uso de equações lineares para solução de problemas. Clovis Maliska, em seu livro Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional, apresenta os principais métodos utilizados para solução de equações lineares: Diretos e Iterativos.

Os Métodos Diretos trabalham com matrizes, algo que demanda muito processamento, principalmente devido ao fato de elas serem caracteristicamente bastante esparças. A necessidade de constantes atualizações para corrigir não-linearidades faz com que os Métodos Iterativos sejam mais utilizados para problemas na área de mecânica dos fluidos computacional, não compensando utilizar Métodos Diretos para este fim.

Os Métodos Iterativos, em um domínio, são resolvidos em etapas (iterações) classificadas como: ponto a ponto, linha a linha ou plano a plano.

Abaixo um pouco sobre cada um deles.

Métodos Diretos

Eliminação de Gauss

A Eliminação de Gauss tem a tarefa de reduzir uma matriz através de cálculos matemáticos (baseados em substituição de resultados), gerando uma segunda matriz de menor complexidade, pois muitos valores serão igualados a zero. Ao final, os valores das incógnitas são descobertos através de um processo chamado back substitution, que executa substituições sucessivas de trás para frente.

Decomposição LU

Considerado uma das variações da Eliminação de Gauss, o método Decomposição LU obtém o valor das incógnitas através d processos seqüenciais de multiplicação de matrizes.

Clovis R. Maliska, em seu livro Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional, usa o seguinte exemplo para representar a Decomposição LU:

O sistema linear [A][T]=[L][U][T]=B pode então ser resolvido, definindo-se [U][T]=[D] e [L][D]=[B]. Resolvendo-se o sistema linear dado por [L][D]=[B] obtém-se D e com D em [U][T]=[D] determina-se T, que é a incógnita desejada.

Métodos Iterativos

Ponto a Ponto

Alguns exemplos de métodos Ponto a Ponto são Método Jacobi, Gauss-Seidel e Método das Sobre-Relaxações Sucessivas (S.O.R.).

A diferença do Método Jacobi para o Gauss-Seidel é que o primeiro utiliza valores das variáveis do nível iterativo anterior, enquanto o segundo utiliza valores das variáveis do nível iterativo corrente. Isto faz o Método Gauss-Seidel ligeiramente mais eficiente.

O Método S.O.R. tem um processo de convergência mais acelerado em face da sobre-relaxação dos valores obtidos. Porém, qualquer Método Ponto a Ponto tem processamento custoso em malhas mais complexas.

Linha a Linha

O Método Linha a Linha é mais otimizado que o Ponto a Ponto pelo fato de, como próprio nome indica, fazer leitura das linhas vizinhas (em vez de pontos/volumes). Neste caso, um problema bi-dimensional, em uma implementação totalmente implícita, é resolvido com valores obtidos na leitura das linhas superior e inferior no tempo corrente, e da linha em questão no momento anterior. Uma questão quase óbvia é que problemas unidimensionais utilizando linha a linha são resolvidos de forma direta, sem processos de iteração.

Os principais algoritmos Linha a Linha existentes são: TriDiagonal Matrix Algorithm (TDMA) e Decomposição LU Incompleta. Este último similar ao Decomposição LU, porém busca encontrar uma matriz o mais próximo da original tirando proveito dos termos não-zeros (algo não possível no Método Decomposição LU) a fim de resolver iterativamente o problema.

Multigrid

Os Métodos Multigrid baseiam-se nos comprimentos de onda da ordem do tamanho da malha, conceito baseado no Método Ponto a Ponto, para acelerar a convergência e eliminar erros. O sentido ocorre a partir da malha mais fina, observando a direção na qual os coeficientes são dominantes, para a criação da malha mais grosseira. Este processo ocorre gradativamente, passando por diversos estágios de tamanho de malhas.

Existem, basicamente, duas classes de Métodos Multigrid: os geométricos, onde aglomeração dos volumes é feita com base na malha, e os algébricos, onde a aglomeração é feita considerando a anisotropia dos coeficientes. No caso dos algébricos, tanto a relação de dimensão como propriedades físicas aparecem nos coeficientes.

Uma metodologia Multigrid conhecida é Additive Correction Multigrid (ACM), que baseia-se na manutenção dos princípios de conservação nos blocos de malhas criados a partir da malha fina.